¿El orden Importa?
Si el orden no importa, es una combinación y si el orden si importa es una permutación.
2.1 Permutaciones
Hay dos tipos de permutaciones:
Se permite repetir: por ejemplo para abrir una cerradura puedes utilizar "333".
Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez.
2.1.1 Permutaciones con Repetición
Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son:
n × n × ... (r veces) = nr
Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la segunda elección, y así hasta llegar a la ultima posición.
Ejemplo:
Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:
10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones
Ejercicio:
Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con los dígitos 2, 4, 6, 8
si:
Permutación con repetición:
Posiciones= 4
Cifras= 4
Solución: 4*4*4*4 = 256
2.1.2 Permutaciones sin repetición
En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.
Ejemplo
¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?
Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.
Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:
16 × 15 × 14 × 13 ... = 20.922.789.888.000
¿Y si no se eligen todos los elementos?
Donde n es el número de cosas que puedes elegir y el y eliges r de ellas (no se puede repetir, el orden importa)
n!
———
(n - r)!
Ejercicio:
Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con los dígitos 2, 4, 6, 8
si:
Permutación sin repetición:
Cifras= 4
Solución: 4*3*2*1 = 24
2.2 Combinaciones
Una combinación es un arreglo de elementos en donde el orden no importa.
Sin repetición: Si cada elemento puede aparecer como mucho una vez
Con repetición. En cambio si no hay esta restricción
2.2.1 Combinaciones sin Repetición
Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden. Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.
Ejemplo:
De un grupo de 12 alumnos van a sacar su credencial en grupos de 3 en 3. ¿Cuántas combinaciones se pueden realizar?
n= 12 (cantidad de alumnos totales)
r= 3 (variable)
Ejercicio:
Si se esta organizando un torneo de ajedrez en donde se inscribieron
para participar 10 personas. Teniendo en cuenta que el orden en que se
jugaran los partidos no importa ¿Cuántos partidos se deben programar
si cada integrante jugará con cada uno de los demás sin partidos de
revancha?
Combinación sin repetición:
Elementos= n 10
Posiciones= r 2
Solución:
2.2.2 Combinaciones con Repetición
Digamos que tenemos cinco sabores de helado: Naranja, Chocolate, Limón, Fresa y Vainilla. Puedes tomar 3 paladas. ¿Cuántas variaciones hay?
Vamos a usar letras para los sabores: {N, C, L, F, V}. Algunos ejemplos son
•{C, C, C} (3 de chocolate)
•{N, L, V} (uno de Naranja, uno de Limón y uno de Vainilla)
•{N, V, V} (uno de Naranja, dos de Vainilla)
En resumen: hay n=5 cosas para elegir, y eliges r=3 de ellas.
El orden no importa, ¡y sí puedes repetir!
Ejemplo:
Digamos que tenemos cinco sabores de helado: Naranja, Chocolate, Limón, Fresa y Vainilla. Puedes tomar 3 bolas de helado. ¿Cuántas variaciones hay?
Ejercicio:
Un restaurante buffete ofrece ofertas de ensaladas con tomate,
zanahoria, papa y brócoli. ¿De cuántas formas se puede preparar la
ensalada usando solo 2 ingredientes?
Combinación con repetición:
Elementos= n 4
Posiciones= r 2
Solución:
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