Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo (mcm) es el número positivo más pequeño que es múltiplo de dos o más números.

Múltiplo

Los múltiplos de un número son los que obtienes cuando lo multiplicas por otros números.

Múltiplo Común

Mínimo Común Múltiplo

Números Primos

Se dice que todo número natural mayor que uno (n ∈ N, n > 1) es un número primo, si sus únicos divisores en el conjunto de los números naturales (N) son 1 y “n”. De este modo se dice también que todo número no primo es un número compuesto.

Teorema Fundamental de la Aritmética

Todo número entero mayor que uno (n ∈ Z, n > 1), se descompone, como producto de números primos, de manera única salvo el orden de los factores.

Teorema de la División

Dados enteros a, b con b diferente a 0,  existen enteros q y r tales que

a = b q + r   y   0 <=  r  < |b|

Al número a se le llama dividendo.

Al número b se le llama divisor.

Al número q se le llama cociente.

Al número r se le llama residuo.

Si queremos hallar el resultado de dividir 19 entre 5 tenemos: 19=5x3+4, es decir, que el cociente es 3 y el residuo 4. Se puede observar que el residuo 4 es mayor que 0 y menor que 5 que es el divisor.

a = 19

b = 5

q = 3

r = 4

Si queremos hallar el resultado de dividir 23 entre 7 tenemos: 23=7x3+2, lo que quiere decir que el cociente es 3 y el residuo es 2.

a = 23

b = 7

q = 3

r = 2

Divisibilidad

Si x, b ∈ Z,

x divide a b, x⎥ b,

Se dice también que b es múltiplo de x o que x es divisor de b. En caso contrario, x∤b, x no divide a b.

Máximo Común Divisor

Dados dos números enteros positivos su máximo común divisor no es más que el mayor de los divisores comunes de ambos números

Ejemplo de cálculo del m.c.d. Tomemos 45 y 75. Los divisores de esos números son:

Divisores de 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45.

Divisores de 75: 1, 3, 5, 15, 25, 75.

EL ALGORITMO DE EUCLIDES

Euclides observó la división entera de dos números a, b, con a>b. La división entre a y b -razonaba Euclides- es una relación entre dos enteros a y b como sigue:

 a=b·c+r

 Y en consecuencia:

 m.c.d.(a, b)=m.c.d.(b, r)

Ejemplo: 

MCD de:

–18, 120

120=18*6+12

18=12*1+6 resultado

12=6*2+0

Ejercicio: 

MCD de: 

–25, 55

55 = 25 * 2 + 5 resultado

25 = 5 * 5 + 0